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Nouvel exercice, domination stochastique.

Si X et Y sont deux variables aléatoires réelles,

de fonctions de répartition de grand F de grand X et grand F de grand Y,

on définit le fait que X est dominé stochastiquement par grand Y,

qui est noté X inférieur ou égal stochastique Y comme suit.

X est inférieur ou égal stochastiquement avec grand Y si la fonction de répartition

de X est supérieur à la fonction de répartition de Y.

Autrement dit si pour tout a qui appartient à R grand F

de grand X de petit a est supérieur ou égal à grand F de grand Y de petit a.

Donc la propriété de domination stochastique en fait c'est une propriété

sur les lois des variables aléatoires grand X et grand Y,

puisque ça ne fait intervenir que leurs fonctions de répartition, et elle indique

que les petites valeurs sont plus probables pour grand X que pour grand Y.

Donc il y a une inégalité des fonctions de répartition et bien dans ce sens-là on

indique que les petites valeurs sont plus probables pour grand X que pour grand Y.

Déjà on a défini la notion de domination stochastique.

Donc trois questions: première question, montrer que si grand X est inférieur ou

égal à grand Y presque sûrement alors X est dominé stochastiquement par grand Y.

Deuxième question, montrer que si X est dominé stochastiquement par

grand Y alors on peut trouver une variable aléatoire X prime de même loi que grand X,

une variable aléatoire grand Y prime de même loi que grand Y

telle que X prime est inférieur ou égal à Y prime.

C'est un peu une réciproque de la question précédente.

Donc sans indication ça serait difficile,

donc l'indication c'est de penser à la simulation des variables aléatoires.

Troisème question, on note F ronde l'ensemble des fonctions croissantes

et telles que l'espérance de f de grand X et l'espérance de f de grand Y

aient un sens dans moins l'infini plus l'infini.

Donc c'est juste pour que les formules aient un sens.

Montrer que X est dominé stochastiquement par grand Y si et seulement si

l'espérance de f de grand X et inférieur ou égal a l'espérance de f de grand Y

pour toute fonction f dans cet ensemble grand F de fonction croissante,

avec des fonctions d'intégrabilité.

Donc il faut réfléchir aux trois questions,

avant de regarder la solution qui va suivre.

Donc je vais donner la solution à l'exercice sur la domination stochastique.

La première question est très simple, c'est tout à fait clair, si vous prenez un

petit a réel, évidemment par définition la fonction de répartition de Y

au point petit a c'est la probabilité que grand Y soit inférieur ou égal à petit a.

La fonction de répartition de grand X sur petit a c'est la probabilité

que grand X soit inférieur ou égal à petit a, et la probabilité

que grand Y inférieur ou égal à petit a, puisque on a supposé que grand X était

presque sûrement plus petit que grand Y c'est la même chose que la probabilité

pour que grand X soit inférieur ou égal à grand Y, inférieur ou égal à petit a.

Et cet ensemble est évidemment, l'ensemble en question étant évidemment inclus

dans l'ensemble où X est inférieur ou égal à petit a, la probabilité est plus petite

que la probabilité que X soit inférieur ou égal à petit a, donc nous avons bien

l'inégalité des fonctions de répartition qui était demandée.

Donc ça c'est un exemple facile

si X est plus petit presque sûrement que grand Y il a évidemment

une plus grande probabilité de prendre des petites valeurs que grand Y.

Nous avons ainsi résolu la première question.

Donc la deuxième question c'est une sorte de réciproque, c'était de montrer

si X était dominé stochastiquement par grand Y alors il existait X prime et Y

prime de même loi que X et Y telle que X prime est plus petit que Y prime.

donc l'indication c'était de se rappeler la simulation,

donc nous allons faire des rappels.

D'abord nous définissons l'inverse généralisé continu à gauche

d'une fonction de répartition grand F par F moins un,

c'est l'application qui a eu appartenant à zéro un ouvert, associe l'infimum

des a appartenant à grand R tel que F de petit a est supérieur ou égal à u.

Donc ça c'est un réel.

C'est facile de vérifier avec cette définiton que comme pour une

inverse normale si on suppose que grand F de grand X de petit a est plus grand que

grand F de Y de petit a pour tout a alors nécessairement pour l'inverse l'ordre

s'inverse, F de X de moins un de petit u est inférieur ou égal à F

de Y de moins un de petit u pour tout u dans zéro un,

il suffit de vérifier avec la définition de F moins 1.

Donc nous avons rappelé la notion d'inverse généralisé

de fonctions de répartition.

Et ensuite deuxième rappel, la simulation.

Si grand U est uniforme sur zéro un, alors F moins un de grand U a pour fonction de

répartition grand F et la constante de répartition caractérise la loi.

Donc en particulier nous pouvons prendre une variable aléatoire grand U uniforme

sur zéro un, et nous pouvons prendre X prime égal Fx moins un de grand U,

qui va donc être égal en loi à grand X et Y prime

qui va être égal à F de Y moins un de grand U d'une même,

de la même variable aléatoire grand U qui va être égal en loi à grand Y.

Donc on prend une seule variable grand U, uniforme sur zéro un,

et avec cette unique variable aléatoire grand U,

on construit X prime et Y prime qui ont la même loi que X et Y.

De par la propriété que nous avons montré au transparent précédent,

automatiquement X prime sera inférieur ou égal à Y prime.

Donc nous avons ainsi résolu le deuxièmement,

nous avons trouvé X prime et Y prime, tel que X prime est plus petit que Y prime,

X prime de même loi que X, Y prime de même loi que Y.

Troisième question, donc on va commencer par montrer l'implication.

Si X est dominé stochastiquement par Y alors

il y a une inégalité dans les espérances qu'on nous a demandé de montrer.

Donc une façon de faire c'est d'utiliser le résultat précédent.

On choisit donc un X prime de même loi que grand X,

un Y prime de même loi que grand Y tel que X prime est plus petit ou égal à Y prime.

Donc les fonctions F c'était des fonctions croissantes qui vérifient une fonction

d'intégrabilité en plus.

Donc puisque F est croissant et que X prime est plus petit que Y prime

nous avons F de grand X prime qui sera plus petit que F de grand Y prime.

Donc ensuite en prenant les espérances, puisque X prime a la même loi que grand X,

l'espérance de F de X c'est le même chose que l'espérance de F de grand X prime.

Par une inégalité F de X prime plus petit que F de Y prime,

l'espérance de F de X prime est plus petit que l'espérance de F de Y prime.

Et de nouveau parce que Y prime a la même loi que Y,

l'espérance de F de Y prime est égale à l'espérance de F de Y.

Donc en définitif l'espérance de F de grand X sera plus petit que l'espérance de

F de grand Y pour toute fonction F telle que ses espérances auront un sens.

Ensuite il faut montrer l'inégalité dans l'autre sens, qui elle est très simple.

La fonction de répartition Fx de a c'est la probabilité pour que F de grand X soit

inférieur ou égal à petit a,

ça peut s'écrire comme étant l'espérance de la fonction indicatrice de moins

l'infini petit a de l'intervalle moins l'infini petit a, a inclus de grand X.

La fonction qui a petit x associe indique la valeur de l'indicatrice de moins

l'infini a de petit x, c'est une fonction qui est décroissante bornée.

qui vaut un jusqu'en petit a et qui vaut zéro ensuite donc elle est décroissante et

bornée donc il n'y a pas de problème d'intégralité.

Et donc évidemment puisque c'est une fonction décroissante les

inégalités sont inverses et donc on a bien le fait que F

de grand X sera plus grand que F de grand Y.

Nous avons ainsi résolu le troisièmement et fini l'exercice.

Domination stochastique (**)

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1

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