Nous généralisons la méthode numérique d'Euler à une EDO du second ordre. Nous développons ensuite deux concepts théoriques utilisés pour les équations linéaires : le principe de superposition et le Wronskien. En utilisant ces concepts, nous pouvons trouver des solutions analytiques à une EDO homogène du second ordre à coefficients constants. Nous utilisons un ansatz exponentiel et transformons l'EDO à coefficients constants en une équation polynomiale du second ordre appelée équation caractéristique de l'EDO. L'équation caractéristique peut avoir des racines réelles ou complexes et nous apprenons les méthodes de résolution pour les différents cas.

Nous ajoutons maintenant un terme inhomogène à l'EDO à coefficient constant. Le terme inhomogène peut être une exponentielle, un sinus ou un cosinus, ou un polynôme. Nous étudions également le phénomène de résonance, lorsque la fréquence de forçage est égale à la fréquence naturelle de l'oscillateur. Enfin, nous découvrons trois applications importantes : le circuit électrique RLC, une masse sur un ressort et le pendule.

Nous présentons deux nouvelles méthodes analytiques de résolution des EDO linéaires. La première est la méthode de la transformée de Laplace, qui est utilisée pour résoudre l'EDO à coefficient constant avec un terme inhomogène discontinu ou impulsif. La transformée de Laplace est un bon véhicule en général pour introduire des techniques sophistiquées de transformation intégrale dans un contexte facilement compréhensible. Nous introduisons également la solution d'une EDO linéaire par une solution en série. Bien que nous ne l'approfondissions pas ici, une introduction à cette technique peut être utile aux étudiants qui la rencontreront à nouveau dans des cours plus avancés.

Nous apprenons à résoudre un système couplé d'équations différentielles homogènes du premier ordre à coefficients constants. Ce système d'EDO peut être écrit sous forme de matrice, et nous apprenons à convertir ces équations en un problème standard de valeurs propres de l'algèbre matricielle. Les solutions bidimensionnelles sont ensuite visualisées à l'aide de portraits de phase. Nous apprenons ensuite une application importante des oscillateurs harmoniques couplés et le calcul des modes normaux. Les modes normaux sont les mouvements pour lesquels les masses individuelles qui composent le système oscillent à la même fréquence. Nous appliquons ensuite la théorie pour résoudre un système de deux oscillateurs harmoniques couplés et utilisons les modes normaux pour analyser le mouvement du système.

Pour apprendre à résoudre une équation différentielle partielle (EDP), nous commençons par définir une série de Fourier. Nous dérivons ensuite l'équation de diffusion unidimensionnelle, qui est une EDP décrivant la diffusion d'un colorant dans un tuyau. Nous procédons ensuite à la résolution de cette EDP à l'aide de la méthode de séparation des variables. Cela implique de diviser l'EDP en deux équations différentielles ordinaires (EDO), qui peuvent ensuite être résolues à l'aide des techniques standard de résolution des EDO. Nous utilisons ensuite les solutions de ces deux EDO et notre définition d'une série de Fourier pour retrouver la solution de l'EDP d'origine.