大家好，我們現在要正式進入第四講的部分。

在這一講裡面呢，我們要總和前面三講所講到的電的現象跟磁的現象。

然後在這一講裡面呢，我們會把它們兩個結合起來。

告訴大家在19世紀的中後段呢，發生了哪些進展，把電跟磁非常

漂亮的結合在一起。那麼在第一節裡面呢，我們要提到的是電跟磁的交互作用怎麼整合起來。

所以我們會先簡單回顧一下電與磁，我們到目前為止學過的，所理解過的幾個重要的進展跟方程式。

然後為各位介紹在19世紀中葉呢，一位非常重要的物理學家Maxwell，

他的對於電跟磁整合這方面的一個貢獻。所以讓我們先從歷史回顧開始。

那麼在講電這個部分呢，我們從18世紀的一路的進展到1785年的時候呢，庫侖提出了庫侖定律，

定量的描述了電荷跟電力之間的關係。

然後在1820年的時候呢，Oersted 發現了電流可以產生磁效應，那麼

他基本上是藉由通有電流的導線呢產生磁場這個現象呢，來看到這件事情。

在同一年，有非常多的科學家試圖重複這件事情，試圖提出很多定量的描述。

那麼其中呢包括了Biot-Savart，它們提出了很重要的必歐沙伐定律呢來定量的

描述電流怎麼產生磁場的大小。而就如同之前講的，在同一年呢，安培也重複了這個實驗，然後提出了所謂的安培

直線導線之間的力的定律。那但是呢在1820年到1826年這段時間呢，安培是對於

電生磁這個現象做了非常非常多的研究。所以呢，當我們後來講到所謂安培定律的時候呢，很多的時候指的是

現在show出來這個方程式，也就是所謂的安培環場基。在一個環狀的

線圈裡面呢，磁場乘上這個線圈的周長會等於這個線圈裡面包住的

電流呢乘上μ0這個磁常數。

然後在緊接著安培定律之後呢，在1827年呢，歐姆提出了歐姆定律，那麼歐姆定律呢是關於

通過導線的電流跟電壓之間呢，定量的一個關係的描述，而因此呢能夠定義一個電阻值。

然後在1831年呢，法拉第呢提出了非常重要的電磁感應定律，所以我們把這個定律呢放在右手邊，這個是在講感應電動勢呢，

可以由磁透量的改變量來產生。

然後接下來在1845年呢，Kirchhoff 說明瞭所謂的電壓跟電流的一個在迴路中的定律，那麼可以讓大家非常方便的

分析一個電路裡面，電壓跟電流的關係。然後接下來一直到1867年呢，

才出現所謂的高斯定律。那麼高斯定律呢告訴大家的事情是，電場跟封閉曲面裡面包的電荷之間有個關係，

這個叫做電的高斯定律。那麼這個定律後來呢也被應用在磁方面，也就是說呢，

在一個封閉的曲面，裡面的磁場呢跟這個曲面面積的內積的積分的結果呢，

也等於裡面的磁荷的數目，但是我們已經知道，似乎找不到磁單極這個東西，所以這個積分結果就是0，這個叫做磁的高斯定律。

所以從剛才這個簡單的歷史回顧呢，我希望各位能夠再發現一次，在我們一般學習普通物理的時候呢，可能都是

很順的從庫侖定律到歐姆定律，然後到Kirchhoff’s law，然後呢把所謂的電磁感應完全放在另外一個章節裡面。但是從歷史的

角度來看呢，這些事情事實上是互相牽絆，在同一個時期裡面呢，前後發生的，它們並不是

非常清楚的隔開來的。所以在學習物理學的時候呢，或是其他科目也是一樣，

如果能夠回到學問發生的起點，去瞭解那個過程裡面到底發生什麼事情呢，對於理解

這個學問會非常有幫助，而且也對於自己將來面對困難的時候呢，那個心情會非常有幫助。

因為你會知道，從前的人也是面對很多困難，在一片荊棘中間披荊斬棘，產生一個新的定律，而並不是非常非常順的，一下就知道庫侖定律，一下就知道歐姆定律。

歷史的發生，物理定律的發生從來都不是一帆風順的一個情況。

好，那麼我們剛剛說回顧了一些電跟磁，我們已經知道了現象之後呢，

接下來我們要提到電跟磁的統一。那麼第一位有系統性的整理的所謂的電磁學的理論，

而在19世紀中葉發表的物理學家呢，是一位蘇格蘭的科學家叫做Maxwell。那麼他在

19世紀中葉呢，發表了經典的三篇的論文，而逐漸的把電跟磁的理論統一起來。

那麼也因此呢，他被成為電磁學之父。那麼我們可以這樣子想這件事情，就是找尋事物

背後共通的道理呢，可以說是從牛頓以來，物理學持續不斷追求的目標。

那麼如果我們回頭去看的話，從現在角度回頭去看，可以說幾乎所有所謂非常重要的

物理進展呢，基本上都跟統一的不同類型的概念有關。譬如說各位或許對於牛頓的

力學定律都耳熟能詳，這個三個定律大家都可能都背得出來，寫得下來。

但是從歷史的結構的眼光來看呢，牛頓真正最重要的突破，

不只是這三個定律，而是他真正重要突破是在概念上突破是告訴所有人，天空上

的星體的運動跟地面上蘋果往下掉，這兩件事情呢受到同一個

物理定律支配，這是牛頓真正重要的概念突破，所以他統一了天體運動跟地表

運動這樣的概念。那例如呢，在19世紀中葉呢，就是在電磁學蓬勃發展的同時，

另外一群科學家呢在發展所謂的熱力學。熱力學呢則是由焦耳告訴大家說，誒，這個所謂的熱，

跟動能基本上呢它們都算是一種能量，而且還可以互相交換哦。

所以焦耳告訴大家的事情就是熱能跟動能，本質上好像是一樣的東西，可以換來換去，所以

他統一的概念是，在熱力學這個領域裡面，慢慢統一的概念是不同的能量，

好像是可以互相換來換去的，是同樣的東西。而我們現在講到Maxwell

他最重要的貢獻呢，則是藉由提出一組方程式，然後告訴大家說，

電跟磁本質上好像也是同樣的東西。而且呢，他所提出來

電磁理論呢，為接下來的量子力學呢跟相對論也打下了非常好的基礎。那麼其中呢，

量子力學事實上也統一了一個重要的概念，它統一的是什麼呢？量子力學借由探討

非常小的粒子的運動呢，而把物質的波動性跟粒子性，這兩個看起來好像完全不同的東西，

統一在一起。告訴大家說，事實上有東西是同時具有波動，也同時具有粒子特性的。

而由電磁學引發出來的相對論呢，則是整合了時間跟空間，還有能量跟物質這些不同的概念。所以我們很快的呢，讓大家能夠

有一個很宏觀的視野，在歷史上，物理學中的進展，

基本上都跟統一了某些人類本來認為毫不相關的

概念有跟大的關係。那麼他在1873年呢寫了一本書，叫做《電磁學通論》，

這整本書呢可以說總結了整個19世紀電磁學的成就。

但事實上呢所謂的Maxwell equation呢，就是這個方程組呢是一直到1884年呢才簡化成現在我們常常看到的

四個方程組。所以這四個方程到底是哪些呢？我們要在接下來的時間裡面為各位簡單介紹一下。那麼首先呢，這裡面有兩個

高斯定律是我們剛剛已經提過的，電的高斯定律跟磁的高斯定律。

然後呢還有包括法拉第定律，就是電磁感應的定律，還有安培的環場定律。那麼

Maxwell的貢獻呢當然不是只有把以前已經知道的定律全部集中在一起，這樣就可以稱之為電磁學之父，

不止是這樣，讓我們來繼續為大家說明，他到底怎麼樣運用了一些很出色的想法，從這四個方程式中

把電跟磁整合在一起。我們現在先看這四個方程式裡面，你可以發現

大部分都有電場跟磁場的存在。而中間有一個法拉第定律，好像

沒有電場也沒有磁場。所以我們先來看看，法拉第定律這一個感應電動勢跟電場之間到底有沒有關係呢。

所以我們先從法拉第定律跟電場之間的關係來看這件事情。我們先把已知的法拉第定律呢寫在右邊，

那麼從這個法拉第定律我們知道，如果呢在磁場中有一個圓形的線圈，我們在這邊放一個均勻的磁場，

然後這個磁場方向呢是垂直螢幕向外的，那裡面有一個橘色的圓形線圈。

當這個磁場如果不斷變弱的話，

線圈上呢就會產生一個感應電動勢，這個感應電動勢會符合冷次定律跟右手定則，

同時會造成一個相對的感應電流。所以按照我們前面學的這些定律呢，我們可以知道這個感應電流呢在這裡按照右手定則會逆時針方向在流。

可是我們想想看這個問題，要產生感應電動勢，一定要有這個導線存在嗎？我們先來想像一下，

如果我們把導線給拿掉，然後換成一個帶有電荷Q0的

這個點電荷，那麼當這個磁場一樣不斷變弱的時候呢，

事實上這個電荷也應該一樣會受到感應電動勢開始做圓周運動。也就是說呢，

在變化的磁場裡面呢，等效於會產生一個環狀的電場。

那麼這個電場到底有多大呢？我們可以從電荷運動的能量來想這件事情。我們已經知道

在這一整圈裡面會產生的感應電動勢，我們叫作ε，就是剛剛這個

法拉第定律寫下的ε。所以呢，如果電荷繞一圈的話呢，它會獲得的能量呢，

應該是這個感應電動勢ε的大小呢，乘上它的電量的大小εq0，這個是電荷繞著一圈會獲得的能量。

那麼另一方面呢，我們也知道在運動的時候呢，所獲得的能量相當於是力

跟位移的內積在整個路徑上積分起來。所以呢，在這裡的力的大小也可以等於是

電量q0，然後乘上E。

所以我們把這個q0，因為它是一個相當於電量是一個常數，可以拿到積分外面去。

所以我們可以得到，在繞著一整圈的時候，這個電荷會得到的能量呢，是εq0

或者是q0乘上環狀積分的電場跟位移量的內積。所以，我們把這個兩個式子稍微比較一下，就可以得到，

感應電動勢其實就是

在這一個環狀的路徑裡面產生的電場跟這個環狀路徑的整圈的內積的

總和。所以呢，我們把法拉第定律裡面感應電動勢跟

磁通量之間微分的關係呢，放到這個式子裡面來。

這樣子，我們就把法拉第定律改寫成電場跟磁通量

之間的相關性。所以，這樣一來呢，就告訴我們說，事實上

磁通量的變化不只是可以產生感應電動勢，也可以產生電場。

所以，這樣一來，我們不禁要問這樣的問題，如果磁通量變化可以產生電場。那，

電場通量的變化會不會也可以產生磁場呢？這個是我們在過去這段學習裡面一直不斷跟各位強調的是，物

理學真的常常在靠類比的方式在思考。

那麼，我們剛剛在問的問題呢？電場通量的變化會不會因此來產生磁場呢。這就是Maxwell對電磁學統一的主要

貢獻之一。

他在思考這個問題的時候，提出了一個所謂的位移電流作為對

安培定律的修正項。那麼，雖然呢，他一開始提出來呢，它是利用一個很複雜的概念叫做分子渦流。

因為我們剛剛說過他是用流體力學來想這件事情。所以他那個渦流的想法來想象一個位移電流。

但是呢，這個模型有點複雜，所以我們現在用一個比較容易想像的說法來讓大家理解

這個所謂的位移電流到底是怎麼冒出來的。那他的核心概念是這個是在講電場通量的改變

會不會影響磁場。所以我們來回頭看一下這件事情。是說安培

環路定律他講的事情是針對一段長的導線裡面呢，

如果我這邊有一個電流的話呢，那我在旁邊做一個環狀的積分，

這個環狀積分裡面包著一個電流。我就可以直接推論出來這個環上面的一個磁場的大小。但是安培環路定律是針對這個長的這個導線裡面

並不間斷的電流。如果我們現在想像這個電路裡面有中斷的地方就像是一個電容。好，如果我插了一個電容在這個地方。那，

這個電容會不會也行程磁場呢？我們這樣想像這一件事情。

當電容在充電的時候呢，這個電線上就有一個電流。

那這個電流呢，根據安培定律呢就會貢獻一個磁場。

可是，這個電容充電的時候呢，這裡面的電荷

的改變，也就是電場的改變會不會貢獻磁場呢？我們從第一講第六節知道呢，

在平行版電容裡面，一定會有電場。而在這個電場的大小，基本上就會是裡面的電荷量

除以面積、除以一個介電常數ε0。

那麼，我們把剛剛在積分長直導線的這個安培迴圈，

把它往右，移到這個電容中間來，來想這個問題。

這個時候呢，穿過這個迴圈的電場通量呢，就應該是剛剛這個

E乘上這個回圈的面積A。我們可以把這個叫做電場通量Φ1。

那我們從剛剛這個電場的定義呢，可以知道，這兩個乘起來結果就會剩下Q除以ε0。

那這個時候呢，在充電的時候呢，

基本上電場通量跟電荷對於時間來說都會不斷的變化。而這個變化就相當於，

是我們把這個電場通量對時間微分。那麼從剛剛上面那個式子來看呢，就知道電場通量對時間微分會剩下，就是

電荷對時間微分的一個項。然後乘上一個ε0分之1。

而仔細看看這個電荷對時間微分的意思，其實不就是電流嘛。所以我們就可以看得出來，

在電場通量隨時間不斷改變的時候，等效來看就好像是一個電流

除上一個ε0，這樣的意思。所以把這個式子稍微整理一下呢，

就會跑出來一個新的電流項，這個電流項的來源是因為電場通量在變化

而產生的。這個就是所謂Maxwell提出來的位移電流的概念。而Maxwell也因而提出來這個概念呢，

他把安培定律呢加上這一項，也就是說，原本的安培定律告訴大家的事情是

在一個封閉迴圈中，對磁場跟路徑內積的積分的結果呢，應該是這裡面包含的電流，

長直導線的電流，這是原本安培定律說明的事情。

那麼，Maxwell修正的地方呢就在於它加上第二項，所謂的位移電流id。

而這個位移電流id呢就是剛剛這個，上面這個定義。所以我們把上面這個定義帶到下面這個式子裡面來，就可以看得出來呢，

這個左邊是磁場對位置積分，右邊呢有兩個電流項。那麼其中一個電流向呢是來自於電場通量的微分。

這個呢，就是經過Maxwell修正的安培定律，所以我們後來也把這個定律稱之為安培

Maxwell的方程式。而這個地方有個事情要稍微強調一下

是Maxwell提出來這個位移電流的假設呢，這是非常非常重要的。可是呢，正因- 為這是一個非常重要的突破，

需要非常大的勇氣來提出這個修正項，為什麼呢？因為這個修正項，

事實上在Maxwell提出來的時候，完全沒有人量到過。知直到Maxwell過世，

都還沒有人量到過這個位移電流真的存在。如果你回頭想一下的話，那過去曾經

看到過的，不管是安培定律也好，法拉第定律也好，都是從實驗的結果，

然後我們用數學的方法來描述它。Maxwell走了一條完全不同的路。

他從數學上直接想像，應該存在這個位移電流，然後大膽地把它提出來，

認為以後一定量的到。所以要能夠從數學上提出這樣的一個說法，完全沒有實驗支持。在當時，是一個非常非常大膽地舉動。

好，所以有了這個修正項之後呢，還有我們把法拉第定律呢變成電場的形式之後呢，

我們就得到目前一般所謂常看到的Maxwell Equation。

那麼這裡面包含了電的高斯定律，就是電場對

封閉截面積的積分呢，結果是裡面的電荷量。

這裡面包括磁的高斯定律，就是磁場對封閉面積的積分呢，會是零，因為沒有磁單極的存在。

然後包括法拉第定律，它是在告訴大家說電場對於一個封閉迴圈的路徑的積分呢，會等於這個迴圈裡面包住的

磁場通量對時間的改變率，然後最後就是剛剛提到的安培-Maxwell定律，那麼這裡面呢，它告訴大家的事情是

在一個封閉迴圈裡面，磁場跟路徑的積分會相當於是裡面包住的電流，還有這個裡面包住的

電場通量隨時間的改變。所以，這些方程式呢，

如果Maxwell只是整理這些方程式，仍然不足與奠定他電磁學之父的地位。在接下來兩節以內呢，我會繼續為各位分析

Maxwell透過這些方程式怎麼樣預測所謂的電磁波的存在。這個才是Maxwell對電磁學來說最重要的貢獻。

然後在這一節的最後呢，我們有一個概念問題來問問大家。

所以請問，在剛剛提到的安培-Maxwell Equation裡面呢，在導線中的電流，

還有從電場改變量所造成的這個位移電流呢，是不是可以同時存在呢？請各位來想想看這個問題。

4-1 電與磁的交互作用

普通物理學 - 電磁學、光學及近代物理

Meet the Instructors